AT車とMT車の壊れやすさの比較は、車の車種や時代の背景など色々な条件を加味すると答えが難しい問題です。
仕様上、AT車はMT車より部品が多いです。部品数が増えるほど故障する可能性は増え、そのため、メンテナンス費用もMT車の方が低いと言われています。
今はMT車というとスポーツカー等の高級車のイメージが強いのでMT車の方がメンテナンス費用が高いイメージがあります。しかし高級車はそもそも部品が高いのでメンテナンス費用も上がっていきます。MT車はミッションオイルの交換が必須だったり、クラッチ交換の可能性があったりするので、一概にどちらがメンテナンス費用が高いとは明言できません。
現行を走っている現役のAT車は壊れにくく、最近ではアシスト機能で事故防止もされています。なので、AT車が故障しやすいというのも間違いに値します。
よって、どちらが故障しやすいかは一概には決められず、結論として乗り手の問題になります。
丁寧に乗り、こまめに点検に出せばどちらの車でも長く乗ることが出来るでしょう。